第一章专题强化练4 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题

第1题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)

A: 使粒子的速度v< $\frac{B q l}{4 m}$
B: 使粒子的速度v> $\frac{5 B q l}{4 m}$
C: 使粒子的速度v> $\frac{B q l}{m}$
D: 使粒子的速度 $\frac{B q l}{4 m}$ <v< $\frac{5 B q l}{4 m}$

解析:

如图所示，

带电粒子刚好打在极板右边缘时，有 ${r_{1}}^{2}$ ＝(r₁－ $\frac{l}{2}$ )²＋l²，又r₁＝ $\frac{m v_{1}}{B q}$ ，所以v₁＝ $\frac{5 B q l}{4 m}$ ；粒子刚好打在极板左边缘时，有r₂＝ $\frac{l}{4} ＝ \frac{m v_{2}}{B q}$ ，所以v₂＝ $\frac{B q l}{4 m}$ ，综合上述分析可知，选项A、B正确。

第2题 (单选题) 难度 - 基础题：

直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m、电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，方向与MO成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为(　　)

A: $\frac{m v}{2 q B}$
B: $\frac{\sqrt{3} m v}{q B}$
C: $\frac{2 m v}{q B}$
D: $\frac{4 m v}{q B}$

解析:

带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r＝ $\frac{m v}{q B}$ 。由题意可知，轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，

由几何关系可知CD为轨迹圆的直径， $\bar{O D} ＝ \frac{\bar{C D}}{s i n 30 °}$ ＝2 $\bar{C D}$ ＝4r＝ $\frac{4 m v}{q B}$ ，故D正确。

第3题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子在MM'边界某点沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN'射出，粒子入射速率v的最大值可能是(　　)

A: $\frac{q B d}{m}$
B: $\frac{(2 ＋ \sqrt{2}) q B d}{m}$
C: $\frac{q B d}{2 m}$
D: $\frac{(2 - \sqrt{2}) q B d}{m}$

解析:

设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做匀速圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qvB＝m $\frac{v^{2}}{R}$ ，解得R＝ $\frac{m v}{q B}$ 。带电粒子速率越大，轨迹半径越大，当轨迹恰好与边界NN'相切时，粒子恰好不能从边界NN'射出，对应的速率最大。若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何关系可知R₁＋R₁cos 45°＝d，

解得R₁＝(2－ $\sqrt{2}$ )d，

对应的最大速率v₁＝ $\frac{(2 - \sqrt{2}) q B d}{m}$ 。

若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示，

由几何关系可知R₂－R₂cos 45°＝d，

解得R₂＝(2＋ $\sqrt{2}$ )d，

对应的最大速率v₂＝ $\frac{(2 ＋ \sqrt{2}) q B d}{m}$ ，故选B、D。

第4题 (多选题) 难度 - 中档题：

(多选)如图，M、N是真空中宽为d的匀强磁场的左右边界(边界上有磁场)，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。大量比荷为k的正离子从M边界上的P点以速率v＝kBd进入磁场，速度方向如图所示，在180°的范围内，粒子分布均匀，不计离子重力，也不计离子间的相互作用，磁场区域足够长。则(　　)

A: 能从边界N飞出磁场的离子占粒子总数的 $\frac{2}{3}$
B: 从边界N飞出磁场的离子中，在磁场中运动的最短时间为 $\frac{π}{3 k B}$
C: 磁场中有离子经过的区域的面积d²(1＋ $\frac{π}{2}$ )
D: 从边界N飞出磁场的离子中，飞出点与P点距离小于或等于 $\sqrt{3}$ d

解析:

由题意得 $\frac{q}{m}$ ＝k，r＝ $\frac{m v}{q B}$ 且v＝kBd，知r＝d，如图所示，

竖直向下入射的离子向右偏转，垂直N边界向右出射，水平向右入射的离子向上偏转与N边界相切，在此范围入射的离子将从N边界出射，对应的入射角度范围是90°，而离子的入射角度范围是180°，故能从边界N飞出磁场的离子占粒子总数的 $\frac{90 °}{180 °} ＝ \frac{1}{2}$ ，故A错误；轨迹弦长为d的离子是从N边界飞出的离子中弦长最短，离子运动轨迹圆心角最小，根据几何关系，可知此圆心角为60°，则离子在磁场中运动的最短时间为t＝ $\frac{60 °}{360 °}$ T＝ $\frac{1}{6}$ × $\frac{2 π m}{B q} ＝ \frac{π}{3 k B}$ ，故B正确；有离子经过的磁场区域由半径为d的两个四分之一圆和边长为d的正方形组合而成，磁场中有离子经过的区域的面积为S＝2× $\frac{1}{4}$ πd²＋d²＝d²(1＋ $\frac{π}{2}$ )，故C正确；根据几何关系可知水平向右入射的离子在N边界的切点与竖直向下入射的离子在N边界的飞出点离Р点的距离均为Δd＝ $\sqrt{d^{2} ＋ d^{2}} ＝ \sqrt{2}$ d，故飞出点与P点距离小于或等于 $\sqrt{2}$ d，故D错误。

第5题 (多选题) 难度 - 中档题：

(多选)(2024·宁波市镇海中学高二期末)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半径为R的半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量均为m、电量均为q的带负电的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速度射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)

A: 可以经过半圆形边界的粒子的速率最小值为 $\frac{q B R}{m}$
B: 可以经过半圆形边界的粒子的速率最大值为 $\frac{3 q B R}{2 m}$
C: 在磁场中运动时间最短的粒子速率为 $\frac{q B R}{2 m}$
D: 在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为 $\frac{2 π m}{3 q B}$

解析:

粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qvB＝m $\frac{v^{2}}{R}$ ，解得粒子的轨迹半径R＝ $\frac{m v}{q B}$ ，粒子速度v越大，半径R越大。

粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，在能达到半圆形边界的粒子中，经过a点的粒子半径最小，速度最小，其轨迹如图中1所示，由 $\frac{R}{2} ＝ \frac{m v_{m i n}}{q B}$

得v_min＝ $\frac{q B R}{2 m}$ ，故A错误；

经过b点的粒子半径最大，速度最大，其轨迹如图中2所示，由 $\frac{3 R}{2} ＝ \frac{m v_{m a x}}{q B}$ ，解得v_max＝ $\frac{3 q B R}{2 m}$ ，故B正确；

轨迹圆弧所对应的弦与ab半圆形边界相切时，圆心角最小，运动时间最短，其轨迹如图中3所示，圆心恰好位于a点，由R＝ $\frac{m v}{q B}$ ，

解得v＝ $\frac{q B R}{m}$ ，故C错误；

粒子在磁场中转过的最小圆心角为120°，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝ $\frac{2 π r}{v} ＝ \frac{2 π m}{q B}$ ，粒子在磁场中的最短运动时间为t＝ $\frac{T}{3} ＝ \frac{2 π m}{3 q B}$

故D正确。

第6题 (多选题) 难度 - 中档题：

(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为 $\frac{q B d}{m}$ ，不计粒子重力，则(　　)

A: 粒子在磁场中运动的半径为 $\frac{d}{2}$
B: 粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C: 粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为 $\frac{π m}{q B}$
D: 能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为 $\frac{π m}{3 q B}$

解析:

带电粒子在磁场中的运动半径r＝ $\frac{m v}{q B}$ ＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，

则E点与A点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝ $\frac{T}{2} ＝ \frac{π m}{q B}$ ，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间为t_min＝ $\frac{T}{6} ＝ \frac{π m}{3 q B}$ ，选项D正确。

第7题 (计算题) - 简答题难度 - 较难题：

(2024·丽水市高二期中)如图所示，在x轴上方存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的xOy平面各个方向不断地发射质量为m、带电量为＋q、速度大小均为v的粒子。在x轴上距离原点x₀处垂直于x轴放置一个长度为x₀、厚度不计、两侧均能接收粒子的薄金属板P(粒子打在金属板P上即被吸收，电势保持为0)。沿y轴正方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力。

(1)求磁感应强度B的大小；

(2)求被薄金属板接收的粒子在磁场运动的最短时间与最长时间；

(3)要使薄金属板P右侧不能接收到粒子，求挡板沿x轴正方向移动的最小距离。

答案:

(1) $\frac{m v}{q x_{0}}$ 　(2) $\frac{π x_{0}}{3 v}$ 　 $\frac{5 π x_{0}}{3 v}$ 　(3)( $\sqrt{3}$ －1)x₀

解析:

(1)设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系，得R＝x₀，

根据牛顿第二定律，得qvB＝ $\frac{m v^{2}}{R}$ ，

联立解得B＝ $\frac{m v}{q x_{0}}$ ，

(2)带电粒子在磁场中的运动周期为T，则有T＝ $\frac{2 π R}{v}$ ，

得T＝ $\frac{2 π x_{0}}{v}$ ，

打在P左侧下端的粒子在磁场中运动的时间最短，如图

由几何关系可知，打在P左侧下端的粒子在磁场中偏转的角度是θ₁＝60°，

运动的最短时间t_min＝ $\frac{θ_{1}}{360 °}$ T，

联立解得t_min＝ $\frac{π x_{0}}{3 v}$ ，

打在P右侧下端的粒子在磁场中运动的时间最长，如图。

由几何关系可知，打在P右侧下端的粒子在磁场中偏转的角度是θ₂＝300°，

运动的最长时间t_max＝ $\frac{θ_{2}}{360 °}$ T，

联立解得t_max＝ $\frac{5 π x_{0}}{3 v}$ 。

(3)要使挡板右侧无粒子到达，P板最上端与O点的连线长应为2x₀，即粒子圆周运动的直径，如图所示。

所以沿x轴正方向移动的最小长度为Δx＝ON－OM＝ $\sqrt{(2 x_{0})^{2} - {x_{0}}^{2}}$ －x₀＝( $\sqrt{3}$ －1)x₀。

第一章 专题强化练4 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题

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